π : una piccola avventura per l’umanità

Pubblicato su 27 Ottobre 2017 | Da Costanza Polastri | Matematica

Fin dai tempi dell’antica Grecia, uno dei numeri che più ha affascinato l’umanità è senza dubbio il π.
π ritorna in così tante formule della fisica e della matematica che ogni tanto ci si chiede come ci è finito qui?? e si dimentica quanto semplice sia la sua origine.
π è uno di quei problemi che all’apparenza sono semplicissimi, ma quando vengono attaccati si rivelano essere sfuggenti e complicati, e forse il fascino che i Pitagorici avevano per questa cifra così speciale deriva proprio da questo

Apparentemente, dicevamo, il problema è semplicissimo: consideriamo una circonferenza, cioè l’insieme dei punti che sono tutti alla stessa distanza da un punto speciale chiamato centro. Chiamiamo poi raggio un segmento che va dal centro fino a un punto qualsiasi della circonferenza.
Ora ci chiediamo: quale è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del suo raggio?

C/r

Beh, si scopre che questo rapporto non dipende dalla particolare circonferenza che stiamo prendendo in considerazione, ma è lo stesso per tutte le circonferenze

C/r = 2π

esso è sempre pari a 2 volte il nostro magico numero: (oppure τ, come preferiscono chiamarlo alcuni matematici un po’ hipster).

Ma come sono arrivati i matematici a determinare un numero così celebre, così importante e al tempo stesso così sfuggente?

Avrebbero potuto costruire un cerchio, magari con del legno o del ferro, misurare la lunghezza della circonferenza e del raggio e poi dividere i due numeri… ma sarebbe stato un metodo decisamente rozzo. Ricordate come avevamo detto qui che già con 10 o 12 cifre significative una misura è da considerare incredibilmente precisa? Beh, noi vogliamo determinare π con moltissime più cifre, idealmente infinite, quindi un metodo “fisico” non può andare bene.

π non è una costante della fisica (come lo sono per esempio la velocità della luce nel vuoto c o la carica di un elettrone e) ma è una costante del regno della matematica, e per andarla a scovare i matematici nel corso della storia, se ne sono inventate di ogni: formula di Newton, prodotto infinito di Wallis, formula di Viète, algoritmo di Borwein… i modi di calcolare cifre significative di π, o almeno di approssimare questo numero, sono a dozzine.

Notevole è la formula di Machin che calcola π sfruttando le proprietà di alcune formule matematiche della geometria dette formule goniometriche. La formula è semplice, per un computer poi è davvero molto semplice! Infatti, quando nel dicembre 2002 un supercomputer usò questa formula, riuscì a calcolare ben 1 241 100 000 000 cifre di π, stabilendo il record mondiale.

La formula di Machin

(Piccolo quiz… come si scrive 1 241 100 000 000 in notazione scientifica?)

Ma qui si parla di matematica… e la cosa frustrante della matematica è che anche più di mille miliardi di cifre sono comunque non infinite. E c’è poco da fare: π ha infinite cifre, tutte disordinate, come dimostrò il matematico Ferdinand Von Lindemann nel 1882.

Quindi… cosa è π?

Semplice -vi risponderebbe un matematico- π è quel numero che moltiplicato per 2 mi dà il rapporto fra la lunghezza di una qualsiasi circonferenza e il suo raggio!
Dato che abbiamo dimostrato che è impossibile scriverne tutte le cifre perché sono infinite e disordinate, semplicemente segniamo questo numero con un’etichetta (in questo caso la lettera π dell’alfabeto greco) invece di provare a scrivelo in cifre.

Complicato? Troppo astratto?

Consoliamoci… per qualsiasi calcolo pratico, il caro vecchio 3,14 va più che bene!

 

 

Dedicato alla prof D. che non mi ha mai chiesto cosa fosse π e io gliel’ho spiegato lo stesso.

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