I numeri complessi: quando realtà e immaginario si incontrano

Pubblicato su 9 Agosto 2017 | Da Costanza Polastri | Matematica

Se si scava abbastanza nelle stranezze della matematica del liceo, si sente parlare dei numeri complessi.

I numeri complessi, o numeri immaginari, hanno avuto una lunga storia prima di essere accettati dalla comunità matematica: già il nome stesso, così come quello dell’unità immaginaria, fa capire come il loro status sia spesso stato considerato ai limiti dell’esistenza.

Eppure, nonostante le difficoltà che hanno avuto ad essere riconosciuti, sono un pilastro importantissimo della matematica.

Se si passa nel regno dei numeri complessi, molte operazioni matematiche importantissime per la fisica quantistica diventano molto più semplici. Grazie a questa invenzione (o forse dovrei dire scoperta?) non abbiamo solo espanso la nostra conoscenza nel mondo della matematica, ma abbiamo anche capito molto di più del mondo, rivelandone delle bellissime parti nascoste, quasi delle pieghe del tempo.

Ma di che si tratta? Come possiamo capirci qualcosa noi che non siamo esperti né di fisica teorica né di matematica?

Cominciamo con qualcosa che abbiamo ben presente: la retta dei numeri.

La retta dei numeri è una retta ordinata, sulla quale ad ogni punto corrisponde un numero reale. I numeri reali sono semplicemente tutti i numeri che ci vengono insieme, come 1, π, -3 e tutti i numeri con la virgola.

A destra dello zero ci sono i numeri positivi, a sinistra quelli negativi, e notiamo che ogni numero ha un corrispettivo del segno opposto dall’altra parte dello zero. La retta è a simmetria speculare, come dicono i matematici, cioè possiamo immaginare di prendere tutta la semiretta dei numeri positivi, ruotarla di 180 gradi intorno allo zero e ottenere così quella dei numeri negativi.

La prima idea geniale che interviene nella creazione dei numeri complessi è proprio questa, che la moltiplicazione per -1 equivale a una rotazione di 180 gradi intorno allo zero. La seconda idea geniale pensa ancora più fuori dagli schemi e introduce la famosa unità immaginaria: -1 è visto come il prodotto di√-1 •√-1 e perciò moltiplicare per √-1 significa ruotare un numero di soli 90 gradi. E’ come se si operasse una mezza inversione del numero, e così facendo si genera un’intera nuova retta, la retta immaginaria, e la combinazione della retta immaginaria con la retta reale da cui siamo partiti  ci dà il piano complesso. 

I numeri che stanno sul piano complesso sono detti numeri complessi, e hanno una parte reale e una parte immaginaria. Il nostro z, numero complesso, lo pensiamo proprio come fatto di due parti e scriviamo

z = a + ib

a è un valore sull’asse reale, ib sull’asse immaginaria e combinandoli tramite la somma possiamo popolare tutto il piano complesso.

Quello dei numeri complessi è una delle invenzioni matematiche che più vengono usate per descrivere la realtà. L’idea di creare una √-1, che i matematici hanno chiamato i, è semplice quanto importante: con i numeri complessi si spiegano tantissimi fenomeni, dalle onde sonore al comportamento delle particelle quantistiche.

E’ una delle magie della matematica!

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One Response to I numeri complessi: quando realtà e immaginario si incontrano

  1. DeVoe dice:

    1) Se si scava abbastanza “cosa”? Abbastanza profondamente? Abbastanza come tempo? Manca la specificazione.

    2) Numero complesso non è sinonimo di numero immaginario. Immaginario è un numero nella forma ix, mentre complesso è un numero nella forma y + ix. C’è una enorme differenza, a partire dal fatto che ogni numero immaginario è complesso, ma ogni numero complesso non è immaginario.

    3) Non è solo la fisica quantistica ad aver tratto vantaggio dai numeri complessi. È tutta la fisica. Non c’è niente di quantistico nella trattazione classica dei circuiti in corrente alternata, eppure i numeri complessi li trovi in ogni parte lì.

    4) Una definizione molto più rigorosa e scientifica dei numeri reali la potevi dare però. “Tutti i numeri che ci vengono insieme” (in mente, penso volessi dire) è una definizione veramente incomprensibile.

    5) Non esistono magie nella scienza, sono tutti dati di fatto.

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